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Angoli

Angoli

Studia gli “Angoli” ed esercitati sui quiz

Tra gli argomenti di geometria piana maggiormente richiesti nell’ambito dei concorsi pubblici, vi sono gli “Angoli“.

Interrogando il nostro database (2.000.000 di quiz), abbiamo sintetizzato in questo wiki le nozioni che di regola sono oggetto di domanda nell’ambito delle prove concorsuali.

Terminata la lettura potrai esercitarti con il Simulatore Quiz di Concorsando.it aggiungendo alla tua area di studio il percorso formativo “Geometria – Angoli”.

Ti ricordiamo che quello che stai leggendo è un wiki del nostro “glossario” che, in quanto tale, è soggetto a periodici aggiornamenti. Se vuoi seguirne gli sviluppi inserisci il tuo indirizzo email nel riquadro in fondo all’articolo e clicca sul tasto [Notify me of changes]: riceverai un’email ogni qualvolta il wiki verrà aggiornato.

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#1. Nozioni

Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi l’origine in comune.

Le semirette si dicono lati dell’angolo.

L’origine comune alle due semirette si dice vertice dell’angolo.

Modi di indicare gli angoli

Angolo

Le semirette r e s, aventi l’origine V comune individuano due regioni del piano dette angolo

Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha origine nel vertice dell’angolo e che divide l’angolo in due angoli congruenti. Dunque la bisettrice di un angolo è equidistante ai lati dell’angolo, ed è interna all’angolo.

Bisettrice di un angolo

Bisettrice di un angolo

#2. Misurazione degli angoli

Gli angoli si misurano in gradi sessagesimali.

Si chiama grado sessagesimale la trecentosessantesima parte dell’angolo giro, ossia la novantesima parte di un angolo retto. Si indica con il simbolo °

Il grado ha solo due sottomultipli:

  • minuto primo (o primo): sessantesima parte del grado. Pertanto sessanta minuti formano un grado. Si indica con il simbolo ′ ;
  • minuto secondo (o secondo): sessantesima parte del primo. Pertanto sessanta secondi formano un primo, ed un grado è formato da 3600 secondi. Si indica con il simbolo ′′ .

Si ricordi che l’ampiezza degli angoli viene misurata con il goniometro o rapportatore.

#2.1. Misurazione degli angoli in forma normale

La misura di un angolo deve essere sempre espressa in forma normale cioè dobbiamo scriverla in questa forma:

gradi° primi′ secondi′′

  • dove gradi è un numero naturale;
  • primi è numero naturale compreso tra 0 e 59;
  • mentre secondi deve essere un numero (anche decimale) minore o al più uguale a 59

Vediamo un esempio di misura di un angolo espressa in forma normale ed uno che non lo è:

102° 43′ 59′′

è espresso in forma normale perché rispetta le condizioni che abbiamo visto in precedenza!

102° 71′ 91′′

La precedente misura non è espressa in forma normale perché il numero che indica i primi non è più piccolo di 60, e il numero che indica i secondi non è più piccolo di 60.

Che facciamo in questo caso? Dobbiamo riportare l’angolo in forma normale!

Per capire il procedimento da adottare partiamo da un esempio:.

90° 99′ 88′′

Possiamo notare che la misura dell’ampiezza dell’angolo non rispetta le condizioni che abbiamo imposto prima.

Partiamo dai secondi, 88” è un numero maggiore di 59, calcoliamo la divisione intera per 60, in questo modo calcoleremo quanti primi ci sono in 88”.

Angolo in forma ridotta

Il resto 28′′ va sostituito al posto di 88′′. Il quoziente 1 è il numero di primi e va invece sommato ai primi dell’angolo ottenendo 99′ + 1′ = 100′

90° 99′ +1′ 28′′ =  90° 100′ 28′′

Regola: se i secondi superano il valore 59” allora si effettua la divisione per 60. Il quoziente della divisione va sommato ai primi, mentre il resto è il nuovo valore dei secondi.

Attenzione, non abbiamo ancora concluso perché la misura non è ancora espressa in forma normale. I primi superano 59 . Ok, possiamo quindi pensare di ripetere il ragionamento che abbiamo utilizzato per i secondi! Dividiamo per 60 i primi così da determinare quanti gradi ci stanno in 100′.

Angolo in forma ridotta

Il quoziente è il numero che andrà sommato ai gradi, mentre il resto è il valore da sostituire nei primi:

90° 100′ 28′′ = 90° + 1° 40′ 28′′ = 91°40′ 28′′

Regola: Se i primi superano la cifra 59, effettuiamo la divisione intera per 60, il quoziente è il numero che va sommato ai gradi, mentre il resto è il nuovo valore per i primi.

Un altro esempio

Vogliamo scrivere in forma normale 7201’’. Naturalmente i secondi hanno un valore molto più grande 59, dividiamo quindi per 60, otterremo che il quoziente intero è 120′, mentre il resto è 1′′, di conseguenza:

720′′= 120′′ 1′′

Per completare, dobbiamo scrivere in forma normale i primi. Dividiamo 120′ per 60, al quoziente associamo 2°, il resto invece è 0′.

720′′= 120′′ 1′′ = 2° 0’ 1’

#2.1.1. E se abbiamo a che fare con numeri decimali per i gradi e per i primi?

Ecco il procedimento per superare questo “piccolo scoglio”.

Vogliamo esprimere in forma normale l’ampiezza dell’angolo:

120,523°

La parte intera, cioè 120°, saranno i gradi della forma normale.

 Prendiamo in considerazione ora la parte decimale, 0,523°, moltiplichiamo per 60, ottenendo:

0,523° × 60 = 31,38′

Possiamo scrivere dunque:

120,523° =  120° 31,38′

Ancora non abbiamo finito, dobbiamo trasformare anche i primi seguendo lo stesso procedimento, la parte intera dei primi, 31′, sarà quella da considerare nella forma normale. Prendiamo in esame la parte decimale 0,38 e moltiplichiamo per 60, così da ottenere i secondi: 0,38’ × 60 = 22,8′′, in definitiva:

120,523° = 120° 31′ 22,8′′

Da questo esempio possiamo trarre la seguente regola: se i gradi sono numeri decimali allora si prende per grado la parte intera (quello che sta prima della virgola). La parte decimale invece verrà moltiplicata per 60, otterremo un nuovo numero, la sua parte intera sarà il valore da associare ai primi, l’eventuale parte decimale invece verrà moltiplicata per 60 ed il risultato saranno i secondi della misura dell’angolo espresso in forma normale.

#2.2. Operazioni

Si ricordi che per passare da gradi a primi o, da primi a secondi, bisogna moltiplicare per 60. Es.: 20′ = 20 · 60 = 1.200”

Mentre per passare da secondi a primi o, da primi a gradi, bisogna dividere per 60. Es.: 120′ = 120 : 60 = 2°

#2.2.1. Addizione

Per effettuare l’addizione degli angoli, si scrivono l’uno sotto l’altro, incolonnando le unità dello stesso ordine. Si sommano quindi gli addendi, iniziando dall’ordine più basso e, dal risultato ottenuto, si effettua l’eventuale riporto all’ordine superiore.

Si voglia ad esempio eseguire l’addizione:

Addizione degli angoli

A questo punto bisogna riportare il risultato, all’ordine superiore. Si procede in questo modo:

  • 97” = 1’ + 37”, quindi al posto dei minuti secondi si scrive 37” e al numero 64’ si aggiunge 1’, ottenendo 65’, che corrisponde a:
  • 65’ = 1° + 5’, per cui in luogo di 65’ si scrive 5’ e al numero 39° si aggiunge 1°.

A operazione avvenuta si ha dunque:

39° 64’ 97” = 40° 5’ 37”

#2.2.2. Sottrazione

La sottrazione degli angoli si esegue in modo analogo all’addizione:

Sottrazione degli angoli

Se accade che un termine di un certo ordine del minuendo sia minore del corrispondente termine del sottraendo, si dovrà trasformare un’unità dal’ordine immediatamente superiore del minuendo in un’unità dell’ordine inferiore, rendendo così possibile la sottrazione.

Per comprendere il concetto, eseguiamo la seguente sottrazione:

Sottrazione degli angoli

Pertanto la prima sottrazione indicata si trasforma in:

Sottrazione degli angoli

#2.2.3. Moltiplicazione di un angolo per un numero intero

Per moltiplicare un angolo per un numero interno dobbiamo moltiplicare separatamente i gradi, i primi, e i secondi per il numero intero ed eventualmente ridurre in forma normale.

Moltiplicazione angoli

#2.2.4. Divisione di un angolo per un numero intero positivo

Al fine di esplicitare il procedimento da adottare quando bisogna dividere un angolo per un numero intero positivo, riportiamo alcuni esempi.

Esempio 1.

Vogliamo procedere alla seguente divisione: 44° 35’ 24” : 6

Divisione angoli

Il risultato è dunque 7° 25’ 54’’

Esempio n. 2

Vogliamo effettuare questa divisione: 95° 12’ 40” : 8

Divisione angol

Il risultato è dunque 11°54’ 5’’

#3. Classificazioni

#3.1. In relazione ai prolungamenti dei lati

Un angolo si dice concavo quando contiene al suo interno i prolungamenti dei suoi lati.

Un angolo si dice convesso quando non contiene al suo interno i prolungamenti dei suoi lati.

Angolo concavo e convesso

Angolo concavo e convesso

#3.2. In relazione all’ampiezza

#3.2.1. Nullo e giro

Un angolo si dice nullo se è costituito solo da due semirette sovrapposte. Un angolo nullo ha un’ampiezza uguale a zero gradi. L’angolo nullo ha i lati sovrapposti e non ha punti interni, a differenza dell’angolo giro che ha i lati sovrapposti e contiene tutti i punti del piano.

Un angolo si dice giro, se la sua ampiezza misura 360°. Affinché un angolo possa essere giro è necessario sia concavo e che i suoi lati coincidano.

Angoli giro e angolo nullo

Angoli giro e angolo nullo

#3.2.2. Retto

Un angolo si dice retto se la sua ampiezza misura 90° (ossia la metà di un angolo piatto). L’angolo retto ha i lati perpendicolari.

Angolo retto

L’angolo retto è la metà dell’angolo piatto

#3.2.3. Piatto

Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono uno il prolungamento dell’altro. In altri termini i lati dell’angolo piatto sono semirette opposte.

Un angolo piatto misura 180°.

Angolo piatto

Angolo piatto

#3.2.4. Angoli uguali

Due angoli sono uguali quando, sovrapponendoli, i lati dell’uno coincidono con i lati dell’altro. Ossia quando hanno la stessa ampiezza.

#3.2.5. Angoli acuti e ottusi

Un angolo si acuto se è di ampiezza minore dell’angolo retto (minore di 90°).

Un angolo si ottuso invece se è di ampiezza maggiore di un angolo retto, ma minore di un angolo piatto (più di 90° e meno 180°).

Dunque un angolo acuto è sempre minore di un angolo ottuso.

Angolo ottuso e acuto

L’angolo acuto è minore di un angolo retto, l’angolo ottuso è maggiore di un angolo retto

#3.3. In relazione alla posizione reciproca

Angoli in base alla posizione reciproca

Angoli in base alla posizione reciproca

#3.3.1. Consecutivi e adiacenti

Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice e un lato comune e giacciono da parte opposta rispetto al lato comune.

Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni giacciono sulla stessa r

Angoli consecutivi e adicenti

Gli angoli α e β sono consecutivi; gli angoli γ e δ sono adiacenti

Angoli consecutivi e adicenti

Angoli consecutivi e adicenti

Le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari.

#3.3.2. Opposti al vertice

Due angoli sono opposti al vertice quando i lati dell’uno sono il prolungamento dei lati dell’altro. Essi sono uguali e congruenti.

Angoli opposti al vertice

Gli angoli formati dalle semirette a sinistra sono opposti al vertice; gli angoli formati dalle semirette a destra non lo sono.

#3.4. In relazione al valore della loro somma

#3.4.1. Complementari

Due angoli sono complementari quando la loro somma è uguale a un angolo retto (90°)

Angoli complementari

Il complementare di un angolo acuto è un altro angolo acuto.

#3.4.2. Supplementari

Due angoli sono supplementari quando la loro somma è uguale a un angolo piatto (180°).

Angoli supplementari

Il supplementare di un angolo ottuso è un angolo acuto e viceversa.

#3.4.3. Esplementari

Due angoli sono esplementari quando la loro somma è uguale a un angolo giro (360°).

Angoli esplementari

#3.5. Particolari relazioni

#3.5.1. Somme

La somma di un angolo retto e un angolo acuto è un angolo ottuso.

La somma di un angolo retto e un angolo ottuso è un angolo concavo.

#3.5.2. Differenze

La differenza di un angolo ottuso e un angolo retto è un angolo acuto.

La differenza di un angolo retto e un angolo acuto è un angolo acuto.

La differenza di due angoli retti è un angolo nullo.

La differenza di due angoli piatti è un angolo nullo.

#3.5.3. Semiampiezza

La meta di un angolo acuto è un angolo acuto.

La metà di un angolo ottuso è un angolo acuto.

La metà di un angolo retto è un angolo acuto.

Buono studio!

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