Circonferenza

Circonferenza Geometria Piana
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#1. Nozione

La circonferenza è una linea curva chiusa avente tutti i suoi punti equidistanti da un punto interno detto centro.

La parte di piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio (in altri termini il cerchio è quella porzione di piano delimitata da una circonferenza).

In essa distinguiamo:

  • raggio: la distanza tra il centro e un punto qualsiasi della circonferenza;
  • diametro: segmento che unisce due punti della circonferenza passante per il centro. Ogni diametro divide la circonferenza in due semicirconferenze. Il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il diametro è una quantità costante, indicata comunemente col simbolo π, o pi greco, il cui valore è approssimativamente 3,14;
Circonferenza
Circonferenza
  • arco: porzione di circonferenza compresa tra due punti della circonferenza stessa;
  • corda: segmento che congiunge due punti qualunque della circonferenza senza passare per il centro;
Arco e corda
Ogni corda sottende due archi (si leggono in senso antiorario AB e BA).
Arco e corda
In una stessa circonferenza, corde congruenti sottendono archi congruenti
  • saetta: segmento perpendicolare tracciato dal centro della corda sulla circonferenza.

#2. Relazioni tra circonferenze e punto

Un punto rispetto ad una circonferenza può essere:

  • esterno alla circonferenza: se la distanza dal centro è maggiore del raggio;
  • sulla circonferenza: se ala distanza dal centro è uguale al raggio;
  • interno alla circonferenza: se la distanza dal centro è minore del raggio.
relazioni tra circonferenze e punti
P è esterno perché OP>r; A è interno perché OA<r; C appartiene alla circonferenza perché OC=r

#3. Relazioni tra circonferenza e retta

Si ricordi innanzitutto che i punti di intersezione che possono avere una retta e una circonferenza vanno da 0 a 2.

#3.1. Retta esterna ad una circonferenza

Una retta si dice esterna ad una circonferenza se non ha punti in comune con la circonferenza.

Affinché una retta sia esterna ad una circonferenza è necessario e sufficiente che la distanza della retta dal centro della circonferenza sia maggiore del raggio.

Retta esterna ad una circonferenza
Retta esterna ad una circonferenza

Dato un punto P, esterno ad una circonferenza, si possono condurre per esso infinite rette esterne.

Dato un punto P appartenente ad una circonferenza, non si può condurre nessuna retta esterna.

#3.2. Retta tangente ad una circonferenza

Una retta si dice tangente una circonferenza, quando in comune un solo punto con la circonferenza.

Affinché una retta sia tangente ad una circonferenza è necessario e sufficiente, che la distanza della retta dal centro della circonferenza sia uguale al raggio.

Retta tagente ad una circonferenza
Retta tangente ad una circonferenza

Dato un punto P, appartenente ad una circonferenza, si può condurre per esso, una sola retta tangente alla circonferenza.

Dato un punto P, esterno ad una circonferenza, si possono condurre per esso, due rette tangenti alla circonferenza.

Dati in un piano una retta e un punto non appartenente ad essa, esistono infinite circonferenze che risultano tangenti alla retta e passanti per il punto.

Dati in un piano un punto A su una retta e un punto B non appartenente alla retta, esiste una sola circonferenza tangente alla retta in A e passante per il punto B.

#3.3. Retta secante ad una circonferenza

Una retta si dice secante o interna una circonferenza se ha due punti in comune con la circonferenza.

Affinché una retta sia secante o interna ad una circonferenza è necessario e sufficiente che la distanza della retta dal centro della circonferenza sia minore del raggio

Dato un punto P, appartenente o esterno ad una circonferenza, si possono condurre per esso infinite rette secanti.

Retta secante una circonferenza
Retta secante una circonferenza

#4. Relazioni tra circonferenze

Due circonferenze possono essere tra loro:

  • secanti: quando si intersecano in due punti e la distanza fra i centri è minore della somma delle misure dei raggi;
  • tangenti internamente: quando hanno un solo punto in comune e la distanza fra i centri è uguale alla differenza tra le misure dei raggi;
  • tangenti esternamente: quando hanno un solo punto in comune è la distanza fra i centri è uguale alla somma delle misure dei raggi;
  • esterne: quando non hanno alcun punto in comune e la distanza fra i centri è maggiore della somma dei raggi;
  • interne: quando non hanno alcun punto in comune e la distanza fra i centri è minore della differenza fra i raggi;
  • concentriche: quando sono interne e i due centri coincidono.
Relazioni tra circonferenze
Relazioni tra circonferenze

#6. Lunghezza della circonferenza e dell’arco

La lunghezza della circonferenza si trova moltiplicando la misura del diametro per π:

C = d·π

Spesso però questa formula si indica non con il diametro, ma con il raggio, che è la sua metà; quindi va moltiplicato per il doppio del π, e si scriverà:

C=2π·r

Per trovare la lunghezza dell’arco (L) si moltiplica il raggio (r) per 6,28, quindi si divide il prodotto ottenuto per 360 e si moltiplica il quoziente per l’ampiezza dell’arco espresso in gradi (a):

Lunghezza dell'arco

#7. Cerchio

Come evidenziato in precedenza il cerchio è la parte di piano delimitata dalla circonferenza. Rispetto ad esso va ricordato che:

  • il diametro divide il cerchio in due parti uguali detti semicerchi;
  • due diametri perpendicolari dividono il cerchio in quattro parti dette quadranti;
  • la porzione di cerchio delimitata da un corda e dal corrispondente arco è il segmento circolare;
  • la porzione di cerchio racchiusa fra due raggi e l’arco compreso dicesi settore circolare;
  • la parte di piano compresa tra due circonferenze concentriche di raggi diversi è la corona circolare.
Parti del cerchio
Parti del cerchio

#8. Le aree

#8.1. L’area del cerchio

Essendo il cerchio equivalente a un poligono regolare avente come perimetro la circonferenza e per apotema il raggio, si ha:

Area del cerchio

L’area del cerchio si trova anche moltiplicando la circonferenza (C) per il raggio e dividendo il prodotto per 2. Pertanto:

Area del cerchio

#8.2. L’area della corona circolare

L’area della corona circolare si trova sottraendo dall’area del cerchio maggiore, l’area del cerchio minore:

Area della corona circolare

#8.2. L’area di un settore circolare

L’area di un settore circolare si ottiene dividendo l’area del cerchio a cui esso appartiene per 360° e, moltiplicando il quoziente ottenuto per l’ampiezza del corrispondente angolo al centro espresso in gradi (a).

Area settore circolare

Oppure lunghezza dell’arco che limita il settore, moltiplicata per la lunghezza del raggio ed il prodotto diviso per 2.

Area settore circolare

#8. Angoli alla circonferenza e angoli al centro

#8.1. Angoli alla circonferenza

Si definisce angolo alla circonferenza ogni angolo avente il vertice sulla circonferenza e i lati passanti per altri due punti della circonferenza.

Angoli alla circonferenza
Gli angoli BCA, BDA, BEA sono angoli alla circonferenza che insistono sull’arco minore AB, ma sono inscritti nell’arco maggiore BA. Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti fra loro e sono la metà dell’angolo al centro corrispondenti. Se l’angolo BCA=40° allora BAO=80°

Ogni angolo alla circonferenza che insiste (inscritto) in mezza circonferenza è retto.

Gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (o inscritti nello stesso arco) sono uguali.

Gli angoli alla circonferenza che insistono su archi uguali sono uguali (congruenti).

#8.2. Angoli al centro

Si definisce angolo al centro ogni angolo avente il suo vertice nel centro di una circonferenza.

Ogni angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza.

Angoli al centro
L’angolo convesso BO ̂A insiste sull’arco AB. L’angolo concavo AO ̂B insiste sull’arco BA.

#9. Formulario

Circonferenza formulario

Buono studio!