Poligonali e Poligoni

Poligoni
Wikis > Geometria piana > Poligonali e Poligoni

 #1. Poligonali

Si chiama spezzata una figura formata da una sequenza ordinata di segmenti uno consecutivo all’altro.

I segmenti che formano la spezzata si chiamano lati, gli estremi dei segmenti si chiamano vertici.

Ogni vertice è quindi in comune a due lati, ad eccezione del primo vertice del primo segmento e dell’ultimo vertice dell’ultimo segmento che possono appartenere a un solo segmento.

Spezzata
La linea ABCDE è una spezzata, perché formata da segmenti consecutivi. I segmenti AB, BC, CD, DE sono i lati della spezzata, i punti A, B, C, D, E sono i vertici

Una spezzata:

  • si dice chiusa se il primo estremo del primo segmento coincide con l’ultimo estremo dell’ultimo segmento;
  • si dice aperta se il primo estremo e l’ultimo estremo sono distinti.
Spezzate aperte e chiuse
Le figure F1 e F2 sono spezzate aperte in quanto hanno il primo e l’ultimo vertice che non coincidono; Le figure F3 e F4 sono spezzate chiuse in quanto tutti i vertici appartengono a due lati consecutivi.

Una spezzata:

  • si dice intrecciata se almeno due suoi lati si intersecano in punti diversi dagli estremi;
  • si dice semplice o non intrecciata se ogni coppia di lati non consecutivi non a punti in comune.
Spezzate intrecciate e chiuse
La figura F1 è un spezzata aperta intrecciata (gli estremi A e D non coincidono, i lati CD e AB si intersecano); la figura F2 è una spezzata chiusa intrecciata (ogni vertice è in comune a due lati, i lati AB e DE si intersecano); la figura F3 è una spezzata aperta semplice (gli estremi A ed F non coincidono, non ci sono lati non consecutivi che si intersecano); la figura F4 è una spezzata chiusa semplice (ogni vertice è in comune a due lati, non ci sono lati non consecutivi che si intersecano).

Si chiama poligonale una spezzata chiusa non intrecciata.

#2. Poligoni

#2.1. Nozione

Si chiama poligono la figura formata da una poligonale e dalla parte finita di piano da essa delimitata.

Il poligono può essere:

  • convesso: se è una figura convessa, cioè se il segmento che ha per estremi due suoi punti qualsiasi è interamente contenuto nel poligono. È chiaro che un poligono è convesso se ogni angolo interno è convesso;
  • concavo: se è una figura concavo, cioè se esistono almeno due punti per i quali il segmento che li unisce non è contenuto interamente nel poligono È chiaro che un poligono è concavo se ha almeno un angolo interno concavo.
Poligono concavo e convesso
Il poligono P1 è convesso perché comunque si prendono due suoi punti interni, il segmento che li unisce è interno al poligono; il poligono P2 è concavo perché il segmento AB cade in parte all’esterno del poligono.

Da ora in avanti quando parleremo di “poligoni” intenderemo sempre poligoni convessi.

In un poligono chiamiamo:

  • lati (l) del poligono: i lati della poligonale. In ogni poligono ciascun lati è minore della somma dei rimanenti;

Esempio

Tre lati di un quadrilatero misurano rispettivamente  88, 5, 34 cm. Il quarto lato potrà misurare cm…
a) 126
b) 127
c) 137
d) 143

Per risolvere l’esercizio basta quindi trovare tra le risposte il valore che è minore della somma dei lati dati. La somma dei tre lati dati è 88+5+34=127
Dunque la risposta corretta è A ossia 126, in quanto nelle altre risposte sono indicati valori uguali o superiori a 127

  • vertici: i vertici della poligonale;
  • contorno: del poligono la poligonale stessa;
  • perimetro: del poligono la somma dei lati (ossia il segmento che si ottiene sommando tutti i lati);
  • punti interni: i punti del poligono non situati sul contorno;
  • punti esterni: tutti i punti del piano che non sono interni e non appartengono al contorno;
  • corde del poligono: ogni segmento che unisce due qualsiasi punti del contorno del poligono che non appartengono allo stesso lato.
  • diagonali (d): ogni corda che unisce due vertici non consecutivi (si ricordi che l’unico poligono a non avere diagonali è il triangolo). Il numero delle diagonali di un poligono di n lati si determina con la formula: Formula per calcolare il numero di diagionali presenti in un poligono

Esempio

Quante sono le diagonali di un poligono con 80 vertici?

Esempio di calcolo del numero delle diagonali

Diagonale e corda
Il segmento AB è una diagonale del poligono poiché unisce i vertici non consecutivi A e B; il segmento DC è una corda poiché unisce due punti posti su due lati distinti del poligono

#2.2. Angoli interni e angoli esterni

Sono chiamati angoli interni o angoli del poligono ognuno degli angoli che ha per lati le semirette che contengono due lati consecutivi del poligono e ha per vertice il vertice del poligono in comune a quei due lati.

Sono chiamati angoli esterni ciascun angolo adiacente ad un angolo interno. Si ricordi inoltre che in un poligono ogni angolo esterno è sempre il supplementare del suo angolo interno.

Angoli interni ed esterni
Nella figura a sinistra sono indicati gli angoli interni al poligono, nella figura di destra sono indicati gli angoli esterni, ognuno di essi è adiacente a un angolo interno.

Si osservi che per ogni angolo interno esistono due angoli esterni, congruenti tra di loro perché opposti al vertice, ovvero perché supplementari dello stesso angolo.

Angoli esterni
Ogni angolo interno ha due angoli esterni adiacenti ad esso

La somma degli angoli interni di un poligono convesso è uguale a tanti angoli piatti, quanti sono i suoi lati (n), meno due: 180° ·(n-2)

Esempio

Qual è la somma degli angoli interni di un poligono con 21 angoli?

somma degli angoli interni = 180 · (21 – 2) = 3420°

Dunque per calcolare il numero degli angoli, conoscendo la somma degli angoli interni, bisogna applicare la formula inversa della formula precedente:

Formula per calcolare il numero dei lati

Esempio

Se la somma degli angoli interni di un poligono è di 1080°, quanti angoli ha il poligono?

Esempio calcolo lati

La somma degli angoli esterni di un poligono convesso uguaglia due angoli piatti (cioè 360°), qualunque sia il numero dei lati.

Mentre la somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di n lati si determina moltiplicando il numero dei lati per la misura di un angolo piatto: n · 180°.

#2.3. Classificazioni

#2.3.1. In base alle caratteristiche dei lati e degli angoli

Un poligono a seconda delle caratteristiche dei suoi lati e dei suoi angoli si dice:

  • equilatero: se ha tutti i lati uguali (es. rombo);
  • equiangolo: se ha tutti gli angoli uguali (es. rettangolo);
  • regolare: quando tutti i suoi lati e tutti i suoi angoli sono uguali, cioè se equilatero e equiangolo (es. i triangolo equilatero è il quadrato). Esempi di poligoni regolari sono il triangolo equilatero ed il quadrato. È chiaro che tutti i poligoni regolari sono sempre convessi;
  • irregolare: se non è regolare. Esempi di poligoni irregolari sono il rombo generico (i lati sono uguali, gli angoli no), il rettangolo generico (gli angoli sono uguali, i lati no) ed il trapezio.

#2.3.2. In base al numero dei lati

Classificazione dei poligoni in base al numero dei lati

#2.4. Poligoni regolari

#2.4.1. Perimetro

Il perimetro di un poligono regolare si trova moltiplicando la misura del lato per il numero dei lati. Es. nel pentagono il perimetro sarà uguale a: p = l · 5. È dunque il lato sarà: l = p : 5

#2.4.2. Somma degli angoli interni di un poligono regolare

La somma degli angoli interni di un poligono regolare si ottiene moltiplicando 180° per il numero dei lati (n) e sottraendo 360°, cioè la somma degli angoli esterni: (180 · n) – 360°

#2.4.3. Apotema

L’apotema è la distanza di ciascun lato del poligono con il centro della circonferenza e coincide con il raggio della circonferenza inscrivibile nel poligono. Risulta essere una proprietà specifica di ciascun poligono regolare.

Apotema
Apotema del quadrato

Tanto è vero che in ogni poligono regolare il rapporto tra l’apotema e il lato è un numero costante. Pertanto l’apotema si trova moltiplicando la misura del lato per il numero fisso:

Elenco apotemi

#2.4.4. Area

L’area di un poligono regolare si trova moltiplicando il perimetro per l’apotema e dividendo il prodotto per due. Pertanto:

Formula area poligono regolare

#2.5. Poligoni inscritti e circoscritti

Il centro della circonferenza inscritta e circoscritta a un poligono regolare è detto centro del poligono.

#2.5.1. Poligoni inscritti

Un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici toccano interamente la circonferenza.

I vertici di ogni poligono iscritto sono equidistanti dal centro.

Il raggio della circonferenza circoscritta è detto raggio del poligono regolare.

Il circocentro (il circocentro è il punto di incontro degli assi di simmetria dei lati) di un poligono inscritto in una circonferenza è il centro della circonferenza inscritta.

Se un poligono è inscritto in una circonferenza, tutti i suoi angoli interni sono angoli alla circonferenza (si chiama angolo alla circonferenza un angolo con il vertice su una circonferenza e i lati o entrambi secanti, o uno secante e l’altro tangente alla circonferenza).

Poligono iscritto in una circonferenza
Poligono iscritto in una circonferenza

#2.5.2. Poligoni circoscritti

Un poligono è circoscritto a una circonferenza quando tutti i suoi lati toccano esternamente la circonferenza.

I lati di ogni poligono circoscritto a una circonferenza sono equidistanti dal centro.

Ogni poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente al triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza.

Si ricordi che il raggio della circonferenza inscritta corrisponde all’apotema del poligono regolare, perché partendo dal vertice tocca tutti i vertici.

Poligono circoscritto
Poligono circoscritto
#2.5.2.1. L’area del poligono circoscritto

Dato che, come evidenziato in precedenza, l’apotema coincide con il raggio (r) della circonferenza inscrivibile nel poligono, allora avremo che:

Area del poligono circoscritto

#2.6. Poligoni simili

A riguardo si ricordi due poligoni sono simili se hanno lo stesso numero di lati, gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti proporzionali.

#2.7. Poligoni equicomposti

Due poligoni sono equicomposti o equiscomponibili quando possono essere divisi in uno stesso numero di poligoni rispettivamente uguali.

In particolare un poligono regolare di n lati si può scomporre in triangoli fra loro congruenti in numero uguale al numero dei lati.

#2.8. Formulario

Poligoni formulario

Poligoni formulario

Buono studio!