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Rette e Segmenti

Rette semirette e segmenti
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 #1. Rette

#1.1. Premessa: la linea

Prima di affrontare il concetto di retta, è opportuno soffermarci su quello di linea, essendo la retta la linea più comune

La linea è un insieme, ordinato di punti; ha la sola dimensione della lunghezza.

Convenzionalmente per indicare una linea si usano, le lettere minuscole dell’alfabeto latino (a, b, c, etc. ).

Una linea è chiusa quando un suo punto, muovendosi in un verso qualunque, può tornare nella posizione iniziale; ne sono esempi meridiani, paralleli e l’orbita terrestre.

Una linea è aperta quando non si verifica la predetta condizione.

Linea chiusa ed aperta

Linea chiusa ed aperta

#1.2. Nozione

Per retta si intende il susseguirsi di punti all’infinito che seguono sempre una medesima direzione.

Essendo una linea anche la retta viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell’alfabeto latino (a, b, c, etc. ).

Retta

Retta

Da ciò si evince:

  • che la retta non ha né inizio né fine;
  • esistono un numero infinite di rette;
  • per due punti distinti di un piano passa una sola retta;
  • per un punto di un piano passano infinite rette;
  • i punti di ogni retta sono ordinati secondo due versi l’uno opposto all’altro;
  • se due rette hanno in comune due punti, vuol dire che hanno in comune infiniti punti;
  • fra due punti, A e B di una retta sono compresi un numero infinito di punti, appartenenti ad r.

#1.3. Posizione della retta

Una retta è in posizione orizzontale quando coincide con il profilo dell’acqua stagnante.

Mentre una retta è in posizione verticale quando coincide con il profilo del filo al piombo.

Una retta è in posizione inclinata quando non né in posizione orizzontale né verticale.

#1.4. Rette complanari e sghembe

#1.4.1. Rette sghembe

Due rette si dicono sghembe se non hanno punti in comune e non appartengono allo stesso piano.

Rette sghembe

Rette sghembe

#1.4.2. Rette complanari

Due rette si dicono complanari se appartengono ad uno stesso piano.

Due rette complanari (e non coincidenti) se non sono incidenti sono necessariamente parallele e viceversa.

Rette complanari

Rette complanari

#1.5. Rette coincidenti

Due rette sono coincidenti quando hanno tutti i punti in comune.

#1.6. Rette parallele

Due rette sono parallele se appartengono allo stesso piano e non hanno nessun punto in comune.

Per indicare la relazione di parallelismo si usa il simbolo “//”.

L’insieme delle rette parallele ad una retta data individua una direzione.

Rette parallele

Rette parallele

Il postulato di Euclide afferma che per un punto esterno ad una retta si può condurre una sola retta parallela alla retta data.

La distanza fra due rette parallele è il segmento di perpendicolare condotto da un punto qualsiasi di una retta all’altra retta.

La relazione di parallelismo nell’insieme delle rette di un piano gode delle proprietà:

  • riflessiva: una retta è parallela a se stessa;
  • simmetrica: se una retta r è parallela ad un’altra s, anche essa sarà parallela ad r;
  • transitiva: se una retta r è parallela ad un’altra s e questa è parallela ad una terza retta t, le due rette r e t sono parallele tra di loro.

#1.6.1. Due rette tagliate da un trasversale

Quando sul piano due rette qualsiasi a e b vengono tagliate da un trasversale t, si originano 8 angoli.

Due rette tagliate da un trasversale

Due rette tagliate da un trasversale

Le rette a e b dividono il piano in due semipiani esterni ed una striscia interna fra le due rette.

  • chiameremo interni gli angoli che si trovano dentro la striscia (3, 4, 5, e 6);
  • chiameremo esterni quelli che si trovano fuori della striscia (1, 2, 8, 7).

La retta t divide il piano in due parti.

  • chiameremo coniugati gli angoli che stanno dalla stessa parte. In particolare sono coniugati interni le coppie: 4 – 5; 3 – 6. Mentre sono coniugati esterni le coppie: 1 – 8; 2 – 7;
  • chiameremo alterni gli angoli che stanno da parti opposte rispetto alla retta t. In particolare sono alterni interni le coppie: 3 – 5; 4 – 6. Mentre sono alterni esterni le coppie: 2 – 8; 1 – 7.
  • chiameremo corrispondenti gli angoli che si trovano contemporaneamente sopra oppure sotto le rette a e b (intuitivamente: tali che trascinando la retta b sopra la retta a si sovrappongono). Sono corrispondenti pertanto le coppie: 1 – 5; 2 – 6; 4 – 8; 3 – 7.

Nel caso in cui le due rette a e b siano parallele, si verifica l’interessante fatto che:

  • le coppie di angoli alterni sono uguali;
  • le coppie di angoli coniugati sono supplementari;
  • le coppie di angoli corrispondenti sono uguali.

#1.7. Rette incidenti 

Due rette si dicono incidenti o concorrenti se hanno un punto (ed uno solo) in comune e, non sono perpendicolari tra loro.

Due rette non perpendicolari intersecandosi formano due angoli acuti e due ottusi. La somma dei quattro angoli sarà sempre 360°.

Rette incidenti

Rette incidenti

#1.7.1. Perpendicolari o ortogonali

Due rette incidenti sono perpendicolari o ortogonali se intersecandosi dividono il piano in quattro angoli congruenti.

Per indicare la relazione di perpendicolarità si usa il simbolo “⊥“.

Tali angoli risultano quindi essere quattro angoli retti.

Il punto di intersezione tra una retta e la sua perpendicolare si chiama “piede”.

Rette perpendicolari

Rette perpendicolari

Per un punto assegnato passa una ed uno sola retta perpendicolare ad retta data.

È chiaro che nello stesso piano due rette perpendicolari, ad una retta data o ad un piano, sono parallele tra loro.

La relazione di perpendicolarità nell’insieme delle rette di un piano gode solo della proprietà simmetrica, ma non riflessiva né transitiva.

#1.8. Fascio di rette

Si dice fascio di rette nel piano un insieme di infinite rette aventi un punto in comune oppure nessuno (essendo quindi parallele).

Un fascio di rette si dice proprio se le infinite rette hanno tutte in comune un punto detto centro del fascio.

Fascio proprio di rette

Fascio proprio di rette

#1.8.1. Teorema di Talete

Secondo il Teorema di Talete se un fascio di rette parallele (fascio improprio) è tagliato da due trasversali i segmenti determinati su di una trasversale sono proporzionali ai segmenti corrispondenti dell’altra.

Toerema di Talete

Toerema di Talete

#1.9. Relazioni tra le rette e gli altri enti geometrici

#1.9.1. Relazioni tra rette e piani

Una retta è esterna ad un piano se non ha nessun punto in comune con esso.

Una retta si dice giacente su un piano se ha due punti in comune con esso. In altri termini se una retta passa per due punti di un piano, giace tutta sul piano. Ogni retta giacente sul piano, divide lo stesso in due parti dette bande. In particolare quando la retta divide il piano in due parti uguali, ciascuna di esse dicesi semipiano.

Mentre una retta si dice incidente ad un piano se ha un solo punto in comune con esso.  In particolare, una retta ed un piano incidenti si dicono perpendicolari se la retta è perpendicolare a qualsiasi retta del piano passante per il punto in comune con la retta data.

Una retta si dice parallela ad un piano se non ha punti in comuni con il piano.

Per una retta passano infiniti piani. Per due rette incidenti o parallele passa un solo piano. Per una retta ed un punto esterno ad essa passa uno e uno solo piano. La proiezione di una retta su un piano, non perpendicolare ad essa, è una retta.

#1.9.2. Relazioni tra rette e punti

La proiezione di un punto su una retta è un punto.

La distanza tra un punto e una retta è il segmento perpendicolare condotto dal punto alla retta.

Distanza tra punto e retta

Il segmento PH, appartenente alla perpendicolare a r passante per P, è la distanza di P dalla retta r

Dati nel piano n punti, a tre a tre non allineati, le rette che li congiungono due a due sono:[n · (n – 1)]/2. Per esempio dati nel piano 4 punti, a tre a tre non allineati, le rette che li uniscono a due a due, sono: [4·(4-1)]/2 = 6.

#1.9.3. Relazioni tra rette e segmenti

Si dice proiezione di un segmento AB sopra una retta r, il segmento che ha per estremi le proiezioni dei punti A e B sulla retta stessa.

La proiezione di un segmento su una retta è sempre minore o uguale al segmento, mai maggiore di quest’ultimo.

In particolare la proiezione di un segmento su una retta può essere minore del segmento dato solo se il segmento è obliquo rispetto alla retta.

Mentre la proiezione di un segmento su una retta può ridursi ad un punto, solo se il segmento è perpendicolare alla retta.

Proiezione di un segmento su una retta

Proiezione di un segmento su una retta

#2. Semirette

Si dice semiretta la parte di retta costituita da un punto di essa, detto origine della semiretta, e da tutti i punti che stanno dalla stessa parte rispetto all’origine. Dunque la semiretta ha inizio ma non ha fine.

Semiretta

Semiretta

Due semirette sono opposte se hanno la stessa origine e appartengono alla stessa retta.

#3. Segmenti

Il segmento è la parte di retta delimitata da due punti, che si dicono estremi del segmento. Uno dei due punti si dice origine e l’altro termine.

Segmento

Segmento

Misurare la lunghezza di un segmento significa, confrontarla con la lunghezza di un altro segmento, scelto come unità di misura, e determinare il numero che esprime quante volte la lunghezza del segmento dato contiene l’unità di misura o un suo multiplo o un suo sottomultiplo.

Il punto medio è il punto interno al segmento che lo divide in due parti congruenti.

Punto medio

M è il punto medio del segmento AB in quanto AM≅MB

Si dice asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento e passante per il punto medio del segmento.

Asse del segmento

La retta r è l’asse del segmento AB in quanto è perpendicolare alla retta per AB e passa per il punto medio di AB.

#3.1. Relazioni tra segmenti

Due segmenti sono consecutivi se hanno in comune soltanto un estremo.

Due segmenti sono adiacenti quando sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta.

Relazioni segmenti

AB e BC sono segmenti consecutivi; DE e EF sono segmenti adiacenti

Relazioni segmenti

I segmenti AB e BC sono consecutivi perché hanno in comune solo il punto B che è un estremo di entrambi; DE e FG non sono consecutivi perché hanno in comune solo il punto F ma esso non è estremo del segmento DE; HI e LM non sono consecutivi perché non hanno nessun punto in comune

Relazioni segmenti

I segmenti AB e BC sono adiacenti perché hanno in comune solo l’estremo B e giacciono sulla stessa retta; i segmenti DE e FG non sono adiacenti; i segmenti HI e LM non sono adiacenti.

Due segmenti sono uguali o congruenti, quando, sovrapponendosi, gli estremi dell’uno coincidono con gli estremi dell’altro.

Due segmenti sono coincidenti se hanno entrambi gli estremi in comune.

Due segmenti sono sovrapposti se tutti i punti del primo appartengono al secondo.

Due segmenti sono incidenti se hanno in comune un punto che non è un estremo. A loro volta due segmenti incidenti, sono perpendicolari se intersecandosi formano quattro angoli retti.

#3.2. Operazioni con segmenti

#3.2.1. Somma di due segmenti

La somma di due segmenti AB e CD è il segmento AD che si ottiene trasportando con un movimento rigido il segmento CD in modo che AB e CD siano adiacenti, con l’estremo B coincidente con C. Scriviamo AB + CD = AD , usando l’usuale simbolo di addizione.

Somma di due segmenti

Il segmento AD è la somma dei segmenti AB e CD

#3.2.2. Differenza tra due segmenti

La differenza di due segmenti AB e CD, con AB>CD, è il segmento DB che si ottiene sovrapponendo AB e CD facendo coincidere l’estremo A con l’estremo C. Scriviamo AB – CD = DB.

Differenza tra segenti

Il segmento DB è la differenza tra i segmenti AB e CD

#3.2.3. Multiplo di un segmento

Il multiplo secondo m, numero naturale diverso da zero, di un segmento AB è il segmento AC che si ottiene sommando m volte il segmento AB.

Multiplo di un segmento

In figura AC ≅ 3AB

Se m=0, il multiplo secondo m di qualsiasi segmento AB è il segmento nullo, ove per segmento nullo intendiamo un qualsiasi segmento in cui gli estremi coincidono, cioè il segmento ridotto al solo punto A.

#3.2.4. Sottomultiplo di un segmento

Il sottomultiplo secondo n, numero naturale diverso da 0, di un segmento AB è un segmento AC tale che AB = n · AC . Si può anche scrivere AC = 1/n · AB.

In generale il segmento AC = m/n ·AB  si ottiene dividendo AB in n parti uguali e ottenendo il segmento AD e poi prendendo m segmenti congruenti ad AD.

Sottomupli segmenti

Il segmento AC è congruente a 7/4 di AB, cioè AC ≅ 7/4AB , infatti AB è stato diviso in 4 parti uguali e AC è costituito da 7 di queste parti.

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