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Triangoli

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#1. Nozioni

Per triangolo si intende quella parte del piano delimitata da una poligonale chiusa, costruita congiungendo tre punti distinti, detti vertici, con tre segmenti, che prendono il nome di lati. In un triangolo, oltre ai lati e ai vertici, si distinguono i seguenti elementi:

  • altezza (relativa a quel vertice o altezza relativa a quel lato): il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto. Poiché il triangolo ha tre lati, avrà in tutto tre altezze. Ricordate che:
    • in un triangolo scaleno le tre altezze sono diverse tra loro;
    • in un triangolo isoscele due hanno la stessa misura;
    • in un triangolo equilatero le tre altezze hanno la stessa misura;
    • in un triangolo rettangolo le due altezze coincidono con i cateti;
    • la somma dell’altezze di un triangolo è sempre minore del perimetro.
Altezze di un triangolo

Altezze di un triangolo

  • base: è uno qualsiasi dei suoi lati;
  • bisettrice: il segmento che biseca l’angolo (di un dato vertice) e termina nel lato opposto. Quindi ogni triangolo possiede tre bisettrici. In un triangolo isoscele la bisettrice condotta per il vertice opposto alla base coincide con l’altezza e la mediana condotte per quel vertice;
Bisettrici di un triangolo

Bisettrici di un triangolo

  • mediana: il segmento che uscendo dal vertice divide il lato opposto in due parti uguali. In altri termini, si chiama mediana qualunque il segmento che unisce il punto medio del lato  con il vertice opposto. Quindi ogni triangolo ha tre mediane. Al riguardo si ricordi che:
    • un triangolo isoscele ha due mediane tra loro congruenti;
    • se in un triangolo l’altezza e la mediana relativa a uno stesso lato coincidono, allora il triangolo è isoscele o equilatero;
    • in un triangolo rettangolo la misura della mediana relativa all’ipotenusa è uguale alla metà della misura dell’ipotenusa;
Mediane di un triangolo

Mediane di un triangolo

  • asse: l’asse di un lato è il segmento di perpendicolare passante per il suo punto medio. Quindi ogni triangolo ha tre assi. Si ricordi che l’asse viene detto di simmetria quando divide la figura in due parti uguali.
Assi di un triangolo

Assi di un triangolo

Al riguardo si ricordi che:

  • in ogni triangolo la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180° (piatto). Dunque la somma di due angoli interni è sempre minore di un angolo piatto;
  • in ogni triangolo la somma degli angoli esterni di un triangolo è sempre uguale a 360° (giro);
  • in ogni triangolo ciascun angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti;
  • in ogni triangolo ciascun angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti;
  • in ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e sempre maggiore della differenza;

Somma e differenza dei lati di un triangolo

  • ogni triangolo è equivalente a metà di parallelogramma avente stessa base e stesse altezza del triangolo.

#2. Punti notevoli

Al riguardo si ricordi innanzitutto che nel triangolo equilatero ortocentro, incentro e baricentro si incontrano nello stesso punto.

#2.1. Ortocentro

Il punto di incontro delle tre altezze si dice ortocentro.

In un triangolo acutangolo l’ortocentro è interno al triangolo.

Mentre in un triangolo ottusangolo l’ortocentro è esterno al triangolo.

In un triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto (in quanto due altezze coincidono con i cateti).

Ortocentro

Ortocentro

#2.2. Incentro

Il punto di incontro delle tre bisettrici prende il nome incentro.

L’incentro è sempre equidistante dai tre lati.

L’incentro è sempre interno al triangolo.

L’incentro è anche il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.

Incentro

Incentro

#2.3. Baricentro

Il punto di incontro delle tre mediane prende il nome di baricentro o centroide.

Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tali che quella compresa tra il vertice e il baricentro è doppio dell’altra.

Si ricordi inoltre che il baricentro (al pari dell’incentro) è sempre interno al triangolo.

Baricentro

Baricentro

#2.4. Circoncentro

Il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo si chiama circocentro (o circumcentro).

Il circocentro è sempre equidistante dai vertici.

In un triangolo ottusangolo il circocentro è sempre esterno al triangolo.

In un triangolo acutangolo il circocentro è interno.

In un triangolo rettangolo il circocentro coincide con il punto medio dell’ipotenusa.

Circocentro

Circocentro

Il circocentro è anche il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

#2.5. Circoncentro

L’excentro di un triangolo è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni del triangolo e la bisettrice dell’angolo interno non adiacente ad essi.

Excentro

Excentro

#3. Classificazioni

#3.1. In base ai lati

Un triangolo, in base ai lati, può essere equilatero, isoscele o scaleno.

#3.1.1. Equilatero

Un triangolo è equilatero se ha i tre lati e i tre angoli uguali. È chiaro pertanto che l’ampiezza di ciascuno degli angoli di un triangolo equilatero è 60°.

Triangolo equilatero

Triangolo equilatero

Congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo equilatero, al suo interno si ottengono quattro triangoli equilateri più piccoli.

Triangolo equilatero interno

Ricordate che tra tutti i tipi di triangoli solo quello equilatero è un poligono regolare, in quanto ha tutti gli angoli e i lati uguali;

Ricordate inoltre che in un triangolo equilatero tutti i punti notevoli coincidono

In un triangolo equilatero l’altezza, la bisettrice e la mediana rispetto a qualsiasi lato coincidono. Si ricordi inoltre che il triangolo equilatero ammette tre assi di simmetria.

Triangolo equilatero

Le tre altezze di un triangolo equilatero, che sono anche mediane, assi e bisettrici, sono assi di simmetria del triangolo e il punto O in cui si incontrano è il centro della circonferenza inscritta (incentro) e circoscritta (circocentro).

#3.1.2. Isoscele

Un triangolo è isoscele se ha solo due lati uguali.

Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono sempre acuti (ossia minore di 90° gradi)i e congruenti (ossia di uguale ampiezza).

In un triangolo isoscele la bisettrice condotta per il vertice opposto alla base coincide con l’altezza e la mediana condotte per quel vertice.

In un triangolo isoscele, l’angolo al vertice può essere sia, acuto, sia ottuso, che retto.

Il triangolo isoscele possiede un solo asse di simmetria.

Si ricordi che un triangolo isoscele può essere contemporaneamente anche rettangolo se gli angoli interni misurano 45°, 45° e 90°

Triangolo isoscele

Triangolo isoscele

#3.1.3. Scaleno

Un triangolo è scaleno se ha i tre lati disuguali.

Ricordate che se un triangolo ha due angoli disuguali, all’angolo maggiore sta opposto il lato maggiore.

Triangolo scaleno

Triangolo scaleno

#3.2. In base agli angoli

Un triangolo, in base agli angoli, può essere rettangolo, acutangolo e ottusangolo.

#3.2.1. Rettangolo

Un triangolo è rettangolo se ha un angolo retto. Gli altri due angoli sono acuti e complementari.

I lati che comprendono l’angolo retto si dicono cateti ed il lato opposto all’angolo retto si dice ipotenusa. L’ipotenusa è sempre maggiore di ciascun cateto.

Se in un triangolo rettangolo un cateto è congruente a metà ipotenusa, allora si può concludere che un angolo interno del triangolo è di 60°

Un triangolo rettangolo isoscele ha i cateti uguali. È chiaro quindi che quando un triangolo rettangolo è anche isoscele, allora rappresenta la metà di un quadrato.

Al riguardo è chiaro che non potrà mai esistere un triangolo con due angoli retti, in quanto la somma dei tre angoli interni deve corrispondere a 180° e nessuno dei tre può essere un angolo nullo.

Triangolo rettangolo

Triangolo rettangolo

#3.2.2. Acutangolo

Un triangolo è acutangolo se ha tutti gli angoli acuti.

Triangolo acutangolo

Triangolo acutangolo

#3.2.3. Ottusangolo

Un triangolo è ottusangolo se ha un angolo ottuso.

Triangolo ottusangolo

Triangolo ottusangolo

#4. Perimetro

Il perimetro del triangolo si trova sommando le misure dei tre lati. Pertanto:

Perimetro del trinagolo

#5. Area

#5.1. Formula generale

L’area di un triangolo qualsiasi si ottiene moltiplicando la misura di un lato (base) per quella dell’altezza ad esso relativa e dividendo per 2 il risultato ottenuto. Ossia:

Formula generale area triangolo

#5.2. Formula per il triangolo rettangolo

L’area del triangolo rettangolo è data dal semiprodotto dei due cateti: (C·c)/2

#5.3. Formula per il triangolo rettangolo isoscele

L’area del triangolo rettangolo isoscele è uguale al semiquadrato del lato: l²/2

#5.4. Formula per il triangolo equilatero

L’altezza di un triangolo equilatero è cateto di un triangolo rettangolo, avente per ipotenusa il lato (l) e per altro cateto metà del lato (l/2).

Triangolo equilatero

Triangolo equilatero

Pertanto applicando il teorema di Pitagora, abbiamo:

Formula area

Dunque l’area di un triangolo equilatero può essere anche calcolata con seguente formula: A = (b·h)/2 ma essendo tutti i lati uguali possiamo anche scrivere (l·h)/2 . Ora sostituendo h con la formula di cui sopra avremo:Formula area

#5.5. Formula di Erone

Attraverso la formula di Erone, è possibile calcolare l’area di un triangolo quando sono note le misure dei lati.

In particolare secondo tale formula l’area si ottiene estraendo la radice quadrata dal prodotto del suo semiperimetro per le differenze fra il semiperimetro e ciascuno dei tre lati:

Formula di erone

ponendo P/2 = p (semiperimetro) si ottiene:

Formula di erone

#6. Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora afferma che la somma dei quadrati dei due numeri che esprimono la lunghezza dei cateti è uguale al quadrato del numero che da la lunghezza dell’ipotenusa.

 In altri termini secondo il teorema di Pitagora in ogni triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

ipotenusa² = cateto maggiore² + cateto minore²Teorema di pitagora

Pertanto:

  • la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle misure dei due cateti;
  • la misura del cateto maggiore di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della differenza fra il quadrato della misura dell’ipotenusa e il quadrato della misura del cateto minore;
  • la misura del cateto minore di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della differenza fra il quadrato della misura dell’ipotenusa e il quadrato della misura del cateto maggiore.

Si ricordi inoltre che l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo, noti i due cateti a e b di e l’ipotenusa c: si calcola con la seguente formula: h =(a·b)/c

#6.1. Generalizzazioni del teorema di Pitagora

Operando una generalizzazione del teorema di Pitagora si può affermare che “In un triangolo rettangolo il poligono regolare di n lati costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei poligoni regolari di n lati costruiti sui due cateti”.

Oppure si può affermare che “In ogni triangolo rettangolo, l’area del semicerchio costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei semicerchi costruiti sui cateti”.

#6.2. Le terne pitagoriche

Quando tre numeri soddisfano il teorema di Pitagora vengono detti “terna pitagorica”.

In particolare per terna pitagorica si intende una terna di numeri a, b e c, con a > b > c, per i quali è valida la relazione a2 = b2 + c2.

La prima terna è costituita dai numeri 3, 4 e 5. Considerando i tre numeri come le misure dei lati di un triangolo rettangolo, se 3 e 4 sono le misure dei cateti, l’ipotenusa sarà sicuramente 5. Infatti applicando il teorema di Pitagora:

ipotenusa2 = cateto2 + cateto2;
cioè ipotenusa2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
da cui ipotenusa è √25 = 5

Le altre terne base si ottengono chiaramente, moltiplicando i singoli numeri della prima terna (3,4,5,)  per due, per tre, per quattro e così via: (6,8,10) ; (9,12,15) ; (12,16,20); (15,20,25);

Una terna pitagorica si dice primitiva quando i suoi termini sono numeri primi tra loro

Una terna pitagorica si dice derivata quando i suoi termini non sono numeri primi fra loro.

#6. Relazioni tra trianfolo e circonferenze

Per quanto attiene le relazioni fra i triangoli e le circonferenze si ricordi:

  • ogni triangolo è inscrivibile ad una circonferenza, in quanto per tre punti non allineati passa sempre una e una sola circonferenza;
  • ogni triangolo iscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo in cui l’ipotenusa è uguale al diametro;
  • in un triangolo rettangolo la somma delle misure dei cateti è uguale alla somma tra la misura dell’ipotenusa e il diametro del cerchio iscritto.

#6. Criteri di similitudine dei triangoli

In geometria, i criteri di similitudine dei triangoli sono dei teoremi tramite i quali è possibile dimostrare la similitudine fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o lati siano congruenti o proporzionali

Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili:

  1. due triangoli sono simili se hanno i due angoli ordinatamente uguali (di conseguenza avranno uguale anche il terzo angolo).  Corollari:
    1. una retta parallela ad un lato di un triangolo stacca dal triangolo un triangolo simile a quello dato;
    2. due triangoli isosceli aventi uguale l’angolo al vertice o uno di quelli alla base, sono simili;
    3. due triangoli rettangoli aventi uguale un angolo acuto sono simili.
  2. due triangoli sono simili se un angolo di uno di essi è uguale ad un angolo dell’altro e se sono proporzionali i lati che li comprendono;
  3. due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali.

#7. Criteri di congruenza dei triangoli

In geometria, i criteri di congruenza dei triangoli sono dei teoremi tramite i quali è possibile dimostrare la congruenza fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o lati siano congruenti. I criteri di congruenza sono tre:

  1. due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente due lati e l’angolo fra essi compreso congruenti;
  2. due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente un lato ed i due angoli ad esso adiacenti congruenti;
  3. due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente tutti i lati congruenti.
Criteri di congruenza dei triangoli

Criteri di congruenza dei triangoli

#7.1. Nel caso dei triangoli rettangoli

Nel caso dei triangoli rettangoli, un angolo è sempre noto: quello retto. In più, grazie al teorema di Pitagora, avendo due lati è sempre possibile determinare il terzo. Di conseguenza, i tre criteri possono essere semplificati:

  1. due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno due cateti congruenti;
  2. due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno uno degli angoli acuti e l’ipotenusa, oppure un cateto, congruenti;
  3. due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno un cateto e l’ipotenusa congruenti.

#8. Triangoli equicomposti e figure equicomposte di triangoli

Congiungendo tra loro i punti medi dei lati di un triangolo equilatero, questo risulta scomposto in quattro triangoli equilateri congruenti tra loro.

Congiungendo tra loro i punti medi dei lati un triangolo isoscele si ottiene un triangolo isoscele.

Congiungendo un punto qualunque dell’asse di un segmento con i suoi estremi si ottiene sempre un triangolo isoscele.

I triangoli che si ottengono tracciando l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo sono sempre rettangoli.

I triangoli che si ottengono tracciando l’altezza relativa alla base di un triangolo isoscele sono sempre rettangoli

I triangoli che si ottengono disegnando le diagonali di un rombo sono sempre rettangoli.

I triangoli che si ottengono tracciando una diagonale di un rettangolo sono sempre rettangoli.

#9. Formulario

Triangoli formulario

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