L’angolo è tra gli argomenti da affrontare nello studio della Geometria piana.
Di seguito le nozioni che di solito nei concorsi pubblici chiedono in relazione a tale argomento.
Ti ricordiamo che puoi esercitarti sui quiz di Geometria Piana utilizzando il simulatore quiz.
Indice
Nozione di angolo e bisettrice
Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi l’origine in comune; le semirette si dicono lati dell’angolo; l’origine comune alle due semirette si dice vertice dell’angolo.
Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha origine nel vertice dell’angolo e che divide l’angolo in due angoli congruenti. Dunque la bisettrice di un angolo è equidistante ai lati dell’angolo, ed è interna all’angolo.
Misurazione degli angoli
Gli angoli si misurano in gradi sessagesimali.
Si chiama grado sessagesimale la trecentosessantesima parte dell’angolo giro, ossia la novantesima parte di un angolo retto. Si indica con il simbolo °
Il grado ha solo due sottomultipli:
- minuto primo (o primo): sessantesima parte del grado. Pertanto sessanta minuti formano un grado. Si indica con il simbolo ′;
- minuto secondo (o secondo): sessantesima parte del primo. Pertanto sessanta secondi formano un primo, e un grado è formato da 3600 secondi. Si indica con il simbolo ′′.
Si ricordi che l’ampiezza degli angoli viene misurata con il goniometro o rapportatore.
Misurazione degli angoli in forma normale
La misura di un angolo deve essere sempre espressa in forma normale cioè dobbiamo scriverla in questa forma:
gradi° primi′ secondi′′
- dove gradi è un numero naturale;
- primi è numero naturale compreso tra 0 e 59;
- mentre secondi deve essere un numero (anche decimale) minore o al più uguale a 59.
Vediamo un esempio di misura di un angolo espressa in forma normale ed uno che non lo è:
102° 43′ 59′′
è espresso in forma normale perché rispetta le condizioni che abbiamo visto in precedenza.
102° 71′ 91′′
La precedente misura non è espressa in forma normale perché il numero che indica i primi non è più piccolo di 60, e il numero che indica i secondi non è più piccolo di 60.
Che facciamo in questo caso? Impareremo a scrivere le misure degli angoli in forma normale!
Partiamo da un esempio tramite il quale spiegheremo i passaggi da seguire per ridurre in forma normale la misura di un angolo.
90° 99′ 88′′
Possiamo notare che la misura dell’ampiezza dell’angolo non rispetta le condizioni che abbiamo imposto prima. Partiamo dai secondi, 88” è un numero maggiore di 59, calcoliamo la divisione intera per 60, in questo modo calcoleremo quanti primi ci sono in 88”.
Il resto 28′′ va sostituito al posto di 88′′. Il quoziente 1 è il numero di primi e va invece sommato ai primi dell’angolo ottenendo 99′ + 1′ = 100′
90° 99′ + 1′ 28′′ = 90° 100′ 28′′
Regola: se i secondi superano il valore 59” allora si effettua la divisione per 60. Il quoziente della divisione va sommato ai primi, mentre il resto è il nuovo valore dei secondi.
Attenzione, non abbiamo ancora concluso perché la misura non è ancora espressa in forma normale. I primi superano 59 . Ok, possiamo quindi pensare di ripetere il ragionamento che abbiamo utilizzato per i secondi! Dividiamo per 60 i primi così da determinare quanti gradi ci stanno in 100′
Il quoziente è il numero che andrà sommato ai gradi, mentre il resto è il valore da sostituire nei primi:
90° 100′ 28′′ = 90° + 1° 40′ 28′′ = 91°40′ 28′′
Regola: Se i primi superano la cifra 59, effettuiamo la divisione intera per 60, il quoziente è il numero che va sommato ai gradi, mentre il resto è il nuovo valore per i primi.
Un altro esempio
Vogliamo scrivere in forma normale 7201’’. Naturalmente i secondi hanno un valore molto più grande 59, dividiamo quindi per 60, otterremo che il quoziente intero è 120′, mentre il resto è 1′′, di conseguenza:
720′′= 120′′ 1′′
Per completare, dobbiamo scrivere in forma normale i primi. Dividiamo 120′ per 60, al quoziente associamo 2°, il resto invece è 0′.
720′′= 120′′ 1′′ = 2° 0’ 1’
E se abbiamo a che fare con numeri decimali?
Ecco il procedimento per superare questo “piccolo scoglio”.
Vogliamo esprimere in forma normale l’ampiezza dell’angolo:
120,523°
La parte intera, cioè 120°, saranno i gradi della forma normale.
Prendiamo in considerazione ora la parte decimale 0,523°, moltiplichiamo per 60, ottenendo: 0,523° * 60 = 31,38′
Possiamo scrivere dunque:
120,523° = 120° 31,38′
Ancora non abbiamo finito, dobbiamo trasformare anche i primi seguendo lo stesso procedimento, la parte intera dei primi, 31′, sarà quella da considerare nella forma normale. Prendiamo in esame la parte decimale 0,38 e moltiplichiamo per 60, così da ottenere i secondi: 0,38’ * 60 = 22,8′′, in definitiva:
120,523° = 120° 31′ 22,8′′
Da questo esempio possiamo trarre la seguente regola: se i gradi sono numeri decimali allora si prende per grado la parte intera (quello che sta prima della virgola). La parte decimale invece verrà moltiplicata per 60, otterremo un nuovo numero, la sua parte intera sarà il valore da associare ai primi, l’eventuale parte decimale invece verrà moltiplicata per 60 e il risultato saranno i secondi della misura dell’angolo espresso in forma normale.
Operazioni
Si ricordi che per passare da gradi a primi o, da primi a secondi, bisogna moltiplicare per 60. Es.: 20′ = 20 * 60 = 1.200″.
Mentre per passare da secondi a primi o, da primi a gradi, bisogna dividere per 60. Es.: 120′ = 120 : 60 = 2°
Addizione
Per effettuare l’addizione dei gradi, si scrivono l’uno sotto l’altro, incolonnando le unità dello stesso ordine. Si sommano quindi gli addendi, iniziando dall’ordine più basso e, dal risultato ottenuto, si effettua l’eventuale riporto all’ordine superiore.
Si voglia eseguire l’addizione:
A questo punto bisogna riportare il risultato, all’ordine superiore. Si procede in questo modo:
- 97” = 1’ + 37”, quindi al posto dei minuti secondi si scrive 37” e al numero 64’ si aggiunge 1’, ottenendo 65’, che corrisponde a:
- 65’ = 1° + 5’, per cui in luogo di 65’ si scrive 5’ e al numero 39° si aggiunge 1°.
A operazione avvenuta si ha dunque:
39° 64’ 97” = 40° 5’ 37”
Sottrazione
La sottrazione degli angoli si esegue in modo analogo all’addizione:
Se accade che un termine di un certo ordine del minuendo sia minore del corrispondente termine del sottraendo, si dovrà trasformare un’unità dall’ordine immediatamente superiore del minuendo in un’unità dell’ordine inferiore, rendendo così possibile la sottrazione.
Per comprendere il concetto, eseguiamo la seguente sottrazione:
Notiamo subito che non possiamo eseguire 6’ – 24’; occorre perciò aggiungere 60’, cioè un 1° e otteniamo 66’. Contemporaneamente togliamo 1° da 15°; ne rimangono 14°.
Pertanto, la prima sottrazione indicata si trasforma in:
Moltiplicazione di un angolo per un numero intero
Per moltiplicare un angolo per un numero interno dobbiamo moltiplicare separatamente i gradi, i primi, e i secondi per il numero intero ed eventualmente ridurre in forma normale.
Divisione di un angolo per un numero intero
Al fine di esplicitare il procedimento da adottare quando bisogna dividere un angolo per un numero intero positivo, riportiamo alcuni esempi.
Esempio 1.
Vogliamo procedere alla seguente divisione: 44° 35’ 24” : 6
Il risultato è dunque 7° 25’ 54’’
Esempio n. 2
Vogliamo effettuare questa divisione: 95° 12’ 40” : 8
Il risultato è dunque 11°54’ 5’’
Classificazioni degli angoli
In relazione ai prolungamenti dei lati
Un angolo si dice concavo quando contiene al suo interno i prolungamenti dei suoi lati.
Un angolo si dice convesso quando non contiene al suo interno i prolungamenti dei suoi lati.
In relazione alla loro ampiezza
Nullo e giro
Un angolo si dice nullo se è costituito solo da due semirette sovrapposte. Un angolo nullo ha un’ampiezza uguale a zero gradi. L’angolo nullo ha i lati sovrapposti e non ha punti interni, a differenza dell’angolo giro che ha i lati sovrapposti e contiene tutti i punti del piano.
Un angolo si dice giro, se la sua ampiezza misura 360°. Affinché un angolo possa essere giro è necessario sia concavo e che i suoi lati coincidano.
Retto
Un angolo si dice retto se la sua ampiezza misura 90° (ossia la metà di un angolo piatto). L’angolo retto ha i lati perpendicolari.
Piatto
Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono uno il prolungamento dell’altro. In altri termini i lati dell’angolo piatto sono semirette opposte.
Un angolo piatto misura 180°.
Angoli uguali
Due angoli sono uguali quando, sovrapponendoli, i lati dell’uno coincidono con i lati dell’altro. Ossia quando hanno la stessa ampiezza.
Angoli acuti e ottusi
Un angolo si acuto se è di ampiezza minore dell’angolo retto (minore di 90°).
Un angolo si ottuso invece se è di ampiezza maggiore di un angolo retto, ma minore di un angolo piatto (più di 90° e meno 180°). Dunque, un angolo acuto è sempre minore di un angolo ottuso.
In relazione alla posizione reciproca
Consecutivi e adiacenti
Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice e un lato comune e giacciono da parte opposta rispetto al lato comune.
Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni giacciono sulla stessa retta.
Ricorda che le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari.
Opposti al vertice
Due angoli sono opposti al vertice quando i lati dell’uno sono il prolungamento dei lati dell’altro. Essi sono uguali e congruenti.
In relazione al valore della loro somma
Complementari
Due angoli sono complementari quando la loro somma è uguale a un angolo retto (90°).
Il complementare di un angolo acuto è un altro angolo acuto.
Supplementari
Due angoli sono supplementari quando la loro somma è uguale a un angolo piatto (180°).
Il supplementare di un angolo ottuso è un angolo acuto e viceversa
Esplementari
Due angoli sono esplementari quando la loro somma è uguale a un angolo giro (360°).
Particolari relazioni tra angoli
Somme
La somma di un angolo retto e un angolo…
- acuto è un angolo ottuso;
- ottuso è un angolo concavo.
Differenze
La differenza di…
- un angolo ottuso e un angolo retto è un angolo acuto;
- un angolo retto e un angolo acuto è un angolo acuto;
- due angoli retti è un angolo nullo;
- due angoli piatti è un angolo nullo.
Semiampiezza
La meta di un angolo…
- acuto è un angolo acuto;
- ottuso è un angolo acuto;
- retto è un angolo acuto.
Altre voci di Geometria Piana
Di seguito tutte le voci del nostro Glossario per concorsi pubblici relative alla Geometria Piana.
