Geometria piana

La Geometria Piana è quel ramo da affrontare nello studio della Geometria.

Di seguito le nozioni che di solito nei concorsi pubblici chiedono in relazione a tale argomento.

Ti ricordiamo che puoi esercitarti sui quiz di Geometria Piana utilizzando il simulatore quiz.

La geometria euclidea come sistema di postulati e teoremi

La geometria piana (o euclidea) si occupa delle proprietà (forma, posizione, estensione) delle superfici e delle figure piane.

La geometria euclidea definisce come concetti primitivi il punto, la retta e il piano, e assume la veridicità di alcuni assiomi (o postulati), gli Assiomi di Euclide. 

Con il termine postulato si intende in particolare in filosofia una proposizione che è ammessa o che si chiede di ammettere come vera senza dimostrarla, al fine di rendere possibile una dimostrazione. Da questi assiomi vengono quindi ricavati dei teoremi anche complessi, come il Teorema di Pitagora. 

Un teorema è dunque una proposizione che viene provata, mediante un ragionamento, deducendola da altre proposizioni, ammesse come vere o già dimostrate.

Le figure geometriche, il luogo geometrico e i concetti di perimetro e di area

Elementarmente, si chiama figura un qualsiasi insieme, non vuoto, di punti.

La parte di piano occupata dalla figura prende il nome di superficie.

Una figura si dice convessa se, considerati due suoi qualsiasi punti, il segmento che li unisce è contenuto nella figura.

Si dice concava se esistono almeno due punti per i quali il segmento che li unisce non è interamente contenuto nella figura.

In geometria il luogo geometrico, o, più semplicemente, un luogo, è l’insieme dei punti del piano o dello spazio euclideo che hanno in comune una determinata proprietà. Esempi di luoghi geometrici sono:

• la circonferenza è il luogo dei punti la cui distanza da un punto dato è costante;
• l’asse di un segmento: luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento;
• la bisettrice di un angolo: luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.

Ogni figura geometrica piana presenta:

• un perimetro: rappresenta la misura della lunghezza del contorno della figura;
• e un’area: rappresenta la misura dell’estensione della superficie che occupa la figura sul piano.

Unità di misura

Unità di misure per le lunghezze

Nel sistema internazionale unità di misura[1. Le unità di misura sono uno standard per la misurazione di quantità fisiche. In fisica e in metrologia, è necessaria una definizione chiara e univoca di tali quantità, al fine di garantire l’utilità e la riproducibilità dei risultati sperimentali, che è alla base del metodo scientifico. Per esempio, si misuri il peso di una mela con una bilancia, se la bilancia legge 100 e l’unità di misura in base alla quale è stata calibrata la bilancia sono i grammi, sapremo che la nostra mela pesa 100 grammi.] delle lunghezze è il metro che ha i seguenti multipli e sottomultipli:

• chilometro = kilometro = km = 10³ m = 1000 m
• ettometro = hm = 10² m = 100 m
• decametro = dam = 10¹ m = 10 m
• metro = m
• decimetro = dm = 10⁻¹ m = 0,1 m = 1/10 m
• centimetro = cm = 10⁻² m = 0,01 m = 1/100 m
• millimetro = mm = 10⁻³ m = 0,001 m = 1/1000 m

Per trasformare una misura di lunghezza da un’unità ad un’altra sua multipla o sottomultipla, si deve rispettivamente dividere o moltiplicare per 10, 100, 1000, e cosi via.

Unità di misura per le superfici

Nel sistema internazionale unità di misura delle superfici è il metro quadrato. Per trasformare una misura di superficie da un’unità ad un’altra sua multipla o sottomultipla, si deve rispettivamente dividere o moltiplicare per 100, 10000, 1000000, e cosi via.

Ci sono poi altre unità di misura delle superfici:

• ara: 1 ara = 100 m²;
• ettaro: 1 ettaro = 10.000 m² = 10 are

Gli enti fondamentali

Gli enti fondamentali della geometria piana sono:

• il punto;
• la retta;
• il piano.

Esiste una simbologia convenzionale condivisa dagli studiosi per indicare questi enti:

• per indicare un punto usiamo una lettera maiuscola: A, B, C, …;
• per indicare una retta usiamo una lettera minuscola:, a, b, c, …;
• per indicare un piano usiamo una lettera greca[1. Ricordiamo l’alfabeto greco, per gli studenti che hanno poca familiarità con esso: α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ζ (zeta), η (eta), θ (theta), ι (iota), κ (kappa), λ (lambda), μ (mi), ν (ni), ξ (xi), ο (o micron), π (pi o pi greca), ρ (rho), σ (sigma), τ (tau), υ (ipsilon), ϕ (fi), χ (chi), ψ (psi), ω (o mega).]: α , β ,γ , …

Il punto

Il punto è un ente geometrico privo di dimensione: cioè non ha lunghezza, né altezza, né profondità.

Esso possiede una posizione nello spazio.

La distanza fra due punti è il segmento che li unisce.

Due o più punti si dicono allineati quando appartengono alla stessa retta.

Il piano

Per piano intendiamo una superficie piana che si estende indefinitamente in tutti i sensi. A riguardo occorre evidenziare che:

• esistono quanti piani si vogliano;
• per un punto passano infiniti piani;
• per due punti passa un numero infinito di piani;
• tre punti allineati sono intersecati da infiniti piani;
• un piano è individuato da una retta e un punto non appartenente ad essa;
• un piano è individuato da due rette incidenti.
• per tre punti non allineati passa un piano e uno solo. In altri termini tre punti non allineati sono intersecati da un solo piano;

•  se due punti di una retta giacciono su un piano, allora anche tutti gli altri punti della retta giacciono su questo piano.

Relazioni tra piani

Piani paralleli

Due piani α e β sono tra loro paralleli, quando su uno di tali piani, ad esempio α giacciono due rette a b paralleli a due rette c d dell’altro piano β.

Piani incidenti o seganti

Due piani si dicono incidenti o seganti, se hanno in comune una retta.

Piani perpendicolari

Due piani si dicono perpendicolari, se incontrandosi secondo una retta, forma angoli diedri retti.

Si definisce diedro ciascuna delle due parti in cui lo spazio resta diviso da due semipiani aventi la stessa origine.

Nello spazio per un punto esterno a un piano è possibile condurre infiniti piani perpendicolari al piano.

Due piani entrambi perpendicolari ad uno stesso piano, sono tra loro paralleli.

L’intersezione di tre piani nello spazio non può mai essere uguale a due punti.

Similitudine, equivalenza, congruenza (o uguaglianza) e isoperimetria

Similitudine

Due figure piane sono simili quando hanno la stessa forma.

Affinché due figure siano simili, è necessario, che i loro angoli interni abbiano la stessa ampiezza.

Pertanto saranno sempre figure simili:

• poligoni regolari con lo stesso numero di lati (es. un esagono regolare è sempre simile ad esagono regolare);
• triangoli rettangoli isosceli (infatti due triangoli rettangoli isosceli avranno sempre un angolo di 90° e gli altri due di 45°);
• triangoli equilateri (i quali hanno sempre tre angoli di 60°);
• i quadrati;
• le circonferenze.

Mentre, ad esempio, un trapezio scaleno non è detto che sia sempre simile ad un’altro trapezio scaleno in quanto gli angoli corrispondenti potrebbero essere anche diversi tra loro.

Equivalenza

Due figure sono equivalenti quando hanno la stessa area, ossia la stessa estensione.

Congruenza (o uguaglianza)

Due figure piane sono congruenti o uguali quando hanno la stessa forma e la stessa area.

In altri termini due figure piane sono uguali se per mezzo di un movimento rigido ogni punto dell’una si sovrappone a un punto dell’altra. È sottinteso che due figure uguali sono equivalenti, simili e isoperimetriche.

La congruenza gode delle seguenti proprietà:

• proprietà riflessiva: ogni figura è uguale a se stessa;
• proprietà simmetrica: se una figura è uguale a un’altra, questa è uguale alla prima;
• proprietà transitiva: due figure uguali a una terza sono uguali fra loro.

Isoperimetria

Due figure piane sono isoperimetriche quando hanno lo stesso perimetro.

Le voci di Geometria Piana

Di seguito tutte le voci del nostro Glossario per concorsi pubblici relative alla Geometria Piana.